Índice general

I. Análisis complejo

1 Números Complejos

1.1 Definición

1.2 Formas de representar un número complejo

1.3 Operaciones con números complejos

1.3.1 Suma de complejos

1.3.2 Propiedades de la suma

1.3.3 Multiplicación de números complejos

1.3.4 Propiedades de la multiplicación de números complejos

1.3.5 División de números complejos

1.4 Magnitud y conjugado de un complejo

1.4.1 Propiedades del conjugado de un número complejo

1.5 Forma polar de un número complejo

1.6 Ejercicios

2 Funciones Complejas

2.1 Definición

2.2 Límites

2.3 Continuidad

2.4 Derivada de una función compleja

2.5 Condiciones de Cauchy-Riemann

2.6 Exponencial compleja

2.7 Funciones trigonométricas complejas

2.8 Logaritmo complejo

2.9 Potencias

2.10 Raíces complejas

2.11 Ejercicios

3 Integral de una función compleja

3.1 Definición

3.1.1 Curvas en el plano

3.2 Integrales definidas sobre una curva suave

3.2.1 Teorema

3.2.2 Definición

3.3 Propiedades de las integrales complejas

3.3.1 Teorema

3.3.2 Ejercicios

3.4 Teorema fundamental del cálculo

3.4.1 Demostración

3.4.2 Teorema

3.4.3 Demostración

3.5 Integrales de series de funciones

3.5.1 Teorema de integración término a término

3.6 Teorema de la integral de Cauchy

3.6.1 Teorema de la curva de Jordan

3.6.2 Teorema de la integral Cauchy

3.7 Independencia de la trayectoria

3.7.1 Teorema

3.7.2 Fórmula integral de Cauchy

3.8 Teorema del residuo

3.9 Ejercicios

II. Series

4 Series de potencias, Taylor y Laurent

4.1 Series de potencias

4.2 Serie de Taylor

4.2.1 Ejercicios

4.3 Serie de Laurent

5 Series de Fourier

5.1 Funciones periódicas

5.2 Funciones pares e impares

5.3 Serie de Fourier de una función

5.4 Lema

5.5 Convergencia de las series de Fourier

5.6 Sumas arciales de la serie de Fourier

5.7 El Fenómeno de Gibbs

5.8 Serie de Fourier en cosenos de una función

5.9 Serie de Fourier en senos de una función

5.10 Desigualdad de Bessel

5.10.1 Ejemplo

5.11 Teorema de Parseval

5.11.1 Ejemplo

5.12 Serie trigonométrica

5.13 Serie de Fourier compleja

5.13.1 Ejercicios

III. Transformada de Fourier

6 Transformada de Fourier de una función

6.1 Definición de transformada de Fourier

6.2 Propiedades de la transformada de Fourier continua

6.2.1 Linealidad

6.2.2 Simetría

6.2.3 Escalonamiento

6.2.4 Transformada de la conjugada

6.2.5 Translación en el tiempo

6.2.6 Translación en frecuencia

6.2.7 Derivación en el tiempo

6.2.8 Derivación en la frecuencia

6.2.9 Modulación

6.2.10 Ejemplos usando propiedades de la transformada de Fourier

6.2.11 Convolución

6.2.12 Propiedades de la convolución

6.2.13 Simétrica

6.2.14 Linealidad

6.2.15 Asociativa

6.2.16 Teorema de convolución en el dominio del tiempo

6.2.17 Demostración

6.2.18 Teorema de convolución en el dominio de la frecuencia

6.2.19 Ejemplo

6.3 Función Delta de Dirac

6.3.1 Resolviendo ecuaciones diferenciales usando la ransformada de Fourier

6.3.2 Ejercicios propuestos

IV. Transformada Z

7 Transformada Z

7.1 Definición de transformada Z

7.2 Ejemplos de transformada Z

7.3 Transformada Z inversa

7.4 Propiedades de la transformada Z

7.5 Función de transferencia

7.5.1 Definición

7.6 Ejercicios propuestos

V. Aplicaciones

8 Transformada Wavelet

8.1 Wavelets vs Fourier

8.2 Eliminación de ruido en señales

8.3 Wavelets vs Fourier: Resolución de imágenes

8.4 Extracción de información en imágenes

8.5 Programa MATLAB

8.5.1 Aproximación a Series de Fourier

8.6 Serie de Fourier: ejemplo

8.7 Temperatura de la tierra a una profundidad X

8.8 Otras aplicaciones

8.8.1 Aplicaciones automotrices

8.8.2 Electrónica de consumo

8.8.3 Medicina

8.8.4 Instrumentación

8.9 Transformada Wavelets

VI. Apéndice

9 Apéndice

9.1 Apéndice A

9.2 Apéndice B

9.2.1 Tabla de transformadas de Fourier

9.3 Apéndice C

9.4 Apéndice D

9.5 ¿Para qué sirve Fourier en MATLAB?

9.5.1 Transformada Fourier triangular

9.5.2 Código que diferencia la frecuencia fundamental de dos señales de voz de dos personas diferentes

9.5.3 Código que permite ver la señal fundamental a través del espejo

9.5.4 Transformada de Fourier en la función polar rectangular

9.6 Transformada Wavelet continua

9.7 Programa básico para obtener la transformada Wavelet discretade una señal de N muestras empleando multiresolución

9.8 Transformada z- MATLAB

VII. Bibliografía

10 Bibliografía

10.1 Libros

10.2 Recursos WEB