PRÓLOGO ............................................................................................................................................ 13
Parte I
CONCEPTOS PREVIOS
1. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA .................................................................................... 17
Introducción .................................................................................................................................... 17
Glosario ........................................................................................................................................... 18
1.1. Principios de la Mecánica Clásica........................................................................................ 18
1.1.1. Primera ley de Newton............................................................................................. 19
1.1.2. Segunda ley de Newton............................................................................................ 19
1.1.3. Tercera ley de Newton.............................................................................................. 20
1.1.4. Ley de la Gravitación Universal ............................................................................. 20
1.1.5. Ley del paralelogramo.............................................................................................. 20
1.1.6. Principio de transmisibilidad ................................................................................... 21
1.2. Sistema Internacional de unidades...................................................................................... 21
1.3. Ecuación dimensional de las magnitudes mecánicas ........................................................ 22
Problemas propuestos..................................................................................................................... 24
2. NOCIONES DE CÁLCULO VECTORIAL ............................................................................ 25
Introducción .................................................................................................................................... 25
Glosario ........................................................................................................................................... 26
2.1. Clasificación y representación de los vectores................................................................... 26
2.1.1. Representación de vectores...................................................................................... 27
2.2. Operaciones con vectores..................................................................................................... 27
2.2.1. Producto de un vector por un escalar..................................................................... 27
2.2.2. Suma de vectores....................................................................................................... 27
2.2.3. Producto escalar de dos vectores ............................................................................ 28
2.2.4. Producto vectorial de dos vectores......................................................................... 29
2.2.5. Producto mixto de tres vectores.............................................................................. 30
2.2.6. Doble producto vectorial de tres vectores............................................................. 31
2.2.7. Momento de un vector respecto a un punto.......................................................... 32
6 Mecánica fundamental
2.2.8. Momento de un vector respecto a una recta.......................................................... 33
2.2.9. Virial de un vector respecto a un punto ................................................................. 34
2.3. Sistemas de vectores.............................................................................................................. 34
2.3.1. Propiedades ............................................................................................................... 35
2.4. Momento mínimo y eje central de un sistema de vectores............................................... 36
2.5. Plano y punto central de un sistema.................................................................................... 38
2.6. Reducción de sistemas de vectores ..................................................................................... 39
2.7. Clasificación de los sistemas en función del segundo invariante ..................................... 40
2.8. Vector función de una variable escalar............................................................................... 43
2.9. Derivación de vectores en bases dependientes de un escalar.......................................... 44
2.10. Triedro intrínseco .................................................................................................................. 46
Problemas propuestos..................................................................................................................... 50
3. CENTROS DE GRAVEDAD Y CENTROS DE MASAS ..................................................... 51
Introducción .................................................................................................................................... 51
Glosario ........................................................................................................................................... 52
3.1. Centro de gravedad............................................................................................................... 52
3.1.1. Sistemas discretos de partículas materiales ........................................................... 53
3.1.2. Sistemas materiales continuos................................................................................. 54
3.1.3. Figuras geométricas .................................................................................................. 55
3.2. Sistemas particulares de masas............................................................................................ 58
3.2.1. Sistema simétrico respecto a un punto................................................................... 58
3.2.2. Sistema simétrico respecto a una recta................................................................... 58
3.2.3. Sistema simétrico respecto a un plano.................................................................... 61
3.3. Sistemas compuestos por otros de centro de masas conocido ......................................... 63
3.4. Teoremas de Pappus-Guldin ................................................................................................ 64
3.4.1. Centro de masas de líneas planas............................................................................ 64
3.4.2. Centro de masas de superficies planas.................................................................... 65
3.5. Centroides de figuras geométricas....................................................................................... 67
Problemas propuestos..................................................................................................................... 68
4. MOMENTOS DE INERCIA ....................................................................................................... 71
Introducción .................................................................................................................................... 71
Glosario ........................................................................................................................................... 72
4.1. Sistemas de partículas materiales........................................................................................ 72
4.2. Relaciones fundamentales.................................................................................................... 75
4.3. Sistemas materiales continuos ............................................................................................. 76
4.4. Radios de giro de sistemas materiales ................................................................................ 81
4.5. Teoremas de Steiner.............................................................................................................. 81
4.6. Tensor planario de inercia en un punto .............................................................................. 85
4.7. Tensor axil de inercia en un punto ...................................................................................... 88
4.8. Elipsoides planario y axil de inercia.................................................................................... 88
4.9. Direcciones principales de inercia....................................................................................... 90
4.10. Secciones planas .................................................................................................................... 93
4.10.1. Momentos y productos de inercia........................................................................... 93
Índice 7
4.10.2. Elipse de inercia ........................................................................................................ 93
4.10.3. Direcciones principales ............................................................................................ 94
4.11. Momentos de inercia de figuras geométricas..................................................................... 95
Problemas propuestos..................................................................................................................... 96
Parte II
ESTÁTICA
5. ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ......................................................................................... 101
Introducción .................................................................................................................................... 101
Glosario ........................................................................................................................................... 102
5.1. Fuerzas actuantes sobre un punto material........................................................................ 102
5.1.1. Fuerzas conservativas............................................................................................... 102
5.2. Axioma fundamental de la Estática del punto material................................................... 104
5.3. Punto libre.............................................................................................................................. 104
5.4. Punto ligado a una superficie sin rozamiento .................................................................... 105
5.5. Punto material ligado a una curva sin rozamiento ............................................................ 108
5.6. Fuerzas actuantes sobre un sólido rígido............................................................................ 110
5.7. Principio de transmisibilidad................................................................................................ 110
5.8. Ecuaciones de equilibrio en un sólido rígido..................................................................... 111
5.9. Diagrama de sólido libre ...................................................................................................... 111
5.10. Enlaces físicos entre sólidos sin rozamiento ...................................................................... 112
5.10.1. Contacto entre sólidos lisos..................................................................................... 112
5.10.2. Articulación o rótula plana...................................................................................... 113
5.10.3. Bisagra........................................................................................................................ 113
5.10.4. Articulación o rótula esférica .................................................................................. 114
5.10.5. Apoyo simple............................................................................................................. 114
5.10.6. Apoyo articulado ...................................................................................................... 115
5.10.7. Empotramiento ......................................................................................................... 115
5.10.8. Sólido funicular......................................................................................................... 116
5.10.9. Polea ........................................................................................................................... 116
5.11. Rozamiento ............................................................................................................................ 120
5.11.1. Leyes de Coulomb del rozamiento ......................................................................... 121
5.11.2. Resistencia al deslizamiento .................................................................................... 122
Problemas propuestos..................................................................................................................... 126
6. CELOSÍAS ..................................................................................................................................... 135
Introducción .................................................................................................................................... 135
Glosario ........................................................................................................................................... 136
6.1. Uniones con articulaciones .................................................................................................. 136
6.2. Celosías................................................................................................................................... 142
6.3. Clasificación de las celosías.................................................................................................. 143
6.4. Cálculo de esfuerzos en celosías por el método de los nudos.......................................... 146
6.5. Cálculo de esfuerzos en celosías por el método de las secciones .................................... 148
Problemas propuestos..................................................................................................................... 150
8 Mecánica fundamental
7. SÓLIDOS FUNICULARES ........................................................................................................ 153
Introducción .................................................................................................................................... 153
Glosario ........................................................................................................................................... 154
7.1. Conceptos básicos ................................................................................................................. 154
7.2. Equilibrio de un cable sometido a una carga continua..................................................... 154
7.2.1. Ecuaciones vectoriales ............................................................................................. 154
7.2.2. Ecuaciones intrínsecas.............................................................................................. 156
7.2.3. Ecuaciones cartesianas............................................................................................. 157
7.3. Cable sometido a una carga vertical continua ................................................................... 157
7.3.1. Cable sometido a una carga uniformemente repartida por unidad de abscisa.. 161
7.4. Cable homogéneo sometido a su propio peso ................................................................... 162
7.4.1. Longitud de un arco de catenaria............................................................................ 163
7.4.2. Tensión en un punto de la catenaria ....................................................................... 164
Problemas propuestos..................................................................................................................... 165
Parte III
CINEMÁTICA
8. FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ........................................ 171
Introducción .................................................................................................................................... 171
Glosario ........................................................................................................................................... 172
8.1. El espacio y el tiempo en Cinemática ................................................................................. 172
8.2. Sistemas de referencia........................................................................................................... 172
8.3. Sistemas de coordenadas...................................................................................................... 173
8.4. Posición, trayectoria y ecuaciones del movimiento ........................................................... 173
8.5. Velocidad y aceleración ........................................................................................................ 174
8.6. Componentes intrínsecas de la aceleración........................................................................ 176
8.7. Coordenadas independientes del sólido rígido.................................................................. 178
8.8. Estudio del movimiento........................................................................................................ 178
8.9. Movimiento de un sólido con punto fijo............................................................................. 179
8.9.1. Matriz de rotación..................................................................................................... 180
8.9.2. Ángulos de Euler...................................................................................................... 182
8.10. Movimiento general .............................................................................................................. 184
Problemas propuestos..................................................................................................................... 189
9. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ...................................................................................... 193
Introducción .................................................................................................................................... 193
Glosario ........................................................................................................................................... 194
9.1. Campo de velocidades.......................................................................................................... 194
9.2. Asimilación del campo de velocidades al de momentos................................................... 196
9.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. Axoides...................................................... 197
9.4. Clasificación de los movimientos......................................................................................... 197
9.5. Campo de aceleraciones....................................................................................................... 198
9.6. Movimiento relativo del punto material............................................................................. 198
Índice 9
9.6.1. Velocidades absoluta, de arrastre y relativa........................................................... 199
9.6.2. Aceleraciones absoluta, de arrastre, relativa y complementaria ......................... 200
9.7. Movimiento relativo entre dos sólidos................................................................................ 201
9.7.1. Campo de velocidades.............................................................................................. 201
9.7.2. Campo de aceleraciones........................................................................................... 202
9.8. Movimiento relativo entre sólidos en contacto.................................................................. 206
Problemas propuestos..................................................................................................................... 211
10. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO PLANO........................................................................ 217
Introducción .................................................................................................................................... 217
Glosario ........................................................................................................................................... 218
10.1. Condiciones geométricas del movimiento plano............................................................ 218
10.2. Parametrización de la posición y trayectorias de puntos............................................... 220
10.3. Particularización del campo de velocidades.................................................................... 222
10.4. Centro instantáneo de rotación. Base y ruleta................................................................ 223
10.5. Cálculo gráfico de velocidades.......................................................................................... 225
10.6. Velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación............................................ 226
10.7. Campo de aceleraciones.................................................................................................... 229
10.8. Aceleración del centro instantáneo de rotación............................................................. 230
10.9. Polo de aceleraciones......................................................................................................... 231
10.10. Estudio de las aceleraciones en el movimiento de rodadura ........................................ 233
Problemas propuestos..................................................................................................................... 234
Parte IV
DINÁMICA
11. DINÁMICA CLÁSICA ................................................................................................................ 241
Introducción .................................................................................................................................... 241
Glosario ........................................................................................................................................... 242
11.1. Magnitudes fundamentales .................................................................................................. 242
11.1.1. Sistema cinético......................................................................................................... 242
11.1.2. Sistema dinámico ...................................................................................................... 244
11.1.3. Energía cinética......................................................................................................... 245
11.1.4. Trabajo de las fuerzas del sistema dinámico.......................................................... 246
11.2. Teoremas fundamentales de la Dinámica........................................................................... 247
11.2.1. Teorema de la cantidad de movimiento o del momento lineal............................ 247
11.2.2. Teorema del momento cinético o angular.............................................................. 250
11.2.3. Teorema de la energía .............................................................................................. 254
11.3. Principio de DAlembert...................................................................................................... 255
Problemas propuestos..................................................................................................................... 257
12. MECÁNICA ANALÍTICA ......................................................................................................... 259
Introducción .................................................................................................................................... 259
10 Mecánica fundamental
Glosario ........................................................................................................................................... 260
12.1. Concepto de enlace mecánico.............................................................................................. 260
12.2. Grados de libertad................................................................................................................. 262
12.3. Coordenadas generalizadas.................................................................................................. 263
12.4. Desplazamiento virtual......................................................................................................... 264
12.5. Fuerzas de enlace y trabajo .................................................................................................. 264
12.6. Principio de los Trabajos Virtuales...................................................................................... 266
12.6.1. Ecuaciones de equilibrio estático de sistemas con enlaces holónomos.............. 270
12.6.2. Estabilidad del equilibrio de sistemas conservativos............................................ 271
12.7. Extensión del Principio de los Trabajos Virtuales a la Dinámica .................................... 273
12.8. Ecuaciones de Lagrange ....................................................................................................... 274
Problemas propuestos..................................................................................................................... 280
13. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ....................................................................................... 283
Introducción .................................................................................................................................... 283
Glosario ........................................................................................................................................... 284
13.1. Cálculo del momento cinético ............................................................................................. 284
13.1.1. Traslación ................................................................................................................... 284
13.1.2. Sólido con punto fijo................................................................................................. 285
13.1.3. Rotación permanente ............................................................................................... 287
13.1.4. Movimiento helicoidal.............................................................................................. 287
13.2. Cálculo de la energía cinética............................................................................................... 290
13.2.1. Traslación ................................................................................................................... 290
13.2.2. Sólido con punto fijo................................................................................................. 290
13.2.3. Rotación permanente ............................................................................................... 291
13.2.4. Movimiento helicoidal.............................................................................................. 291
13.3. El problema dinámico en mecanismos ............................................................................... 292
Problemas propuestos..................................................................................................................... 294
14. DINÁMICA DEL SÓLIDO CON EJE FIJO ........................................................................... 299
Introducción .................................................................................................................................... 299
Glosario ........................................................................................................................................... 300
14.1. Ecuaciones del problema dinámico..................................................................................... 300
14.2. Equilibrado de rotores.......................................................................................................... 305
Problemas propuestos..................................................................................................................... 307
15. DINÁMICA DEL SÓLIDO CON PUNTO FIJO .................................................................... 311
Introducción .................................................................................................................................... 311
Glosario ........................................................................................................................................... 312
15.1. Ecuaciones de Euler.............................................................................................................. 312
15.2. Coordenadas generalizadas para la rotación: ángulos de Euler ...................................... 313
15.3. Giroscopio con movimiento por inercia o de Euler-Poinsot............................................ 315
Índice 11
15.3.1. Giroscopio simétrico de Euler-Poinsot................................................................... 316
15.4. Giroscopio de Euler-Lagrange............................................................................................. 319
15.5. Aplicación al sólido libre...................................................................................................... 323
Problemas propuestos..................................................................................................................... 324
16. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO PLANO ............................................................................ 329
Introducción .................................................................................................................................... 329
Glosario ........................................................................................................................................... 330
16.1. Ecuaciones del movimiento ................................................................................................. 330
16.2. Expresión particular del teorema del momento cinético ................................................. 334
16.3. Aplicación del principio de DAlembert............................................................................ 337
16.4. Movimiento por inercia ........................................................................................................ 339
Problemas propuestos..................................................................................................................... 339
17. PERCUSIONES Y CHOQUES .................................................................................................. 343
Introducción .................................................................................................................................... 343
Glosario ........................................................................................................................................... 344
17.1. Concepto de percusión ......................................................................................................... 344
17.2. Partícula material sometida a una percusión ..................................................................... 345
17.3. Sistema mecánico sometido a percusiones......................................................................... 346
17.4. Sólido rígido con eje fijo sometido a una percusión.......................................................... 349
17.5. Teorema de Carnot................................................................................................................ 351
17.6. Concepto de choque.............................................................................................................. 354
17.7. Choque sin rozamiento......................................................................................................... 355
17.8. Variación de la energía cinética en un choque sin rozamiento ........................................ 357
17.9. Choque con rozamiento........................................................................................................ 359
Problemas propuestos..................................................................................................................... 359
18. PEQUEÑAS OSCILACIONES .................................................................................................. 363
Introducción .................................................................................................................................... 363
Glosario ........................................................................................................................................... 364
18.1. Formas reducidas de las energías potencial y cinética ...................................................... 364
18.1.1. Energía potencial reducida ...................................................................................... 364
18.1.2. Energía cinética reducida......................................................................................... 365
18.2. Ecuaciones del movimiento ................................................................................................. 366
18.3. Frecuencias naturales y modos de oscilación del sistema................................................. 368
Problemas propuestos..................................................................................................................... 370
SOLUCIONARIO................................................................................................................................ 373
BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................................. 389