Prólogo

Capítulo 1. Álgebra vectorial
1.1. Vectores
1.1.1. Ingeniería y vectores
1.1.2. Vector
1.1.3. Operaciones entre vectores
1.1.4. Vectores en sistemas de coordenadas
1.1.5. Vector definido mediante las coordenadas de su origen y su punto extremo
1.1.6. Módulo de un vector
1.1.7. Ángulos directores
1.1.8. Versor o vector unitario asociado a un vector
1.1.9. Introducción a espacios vectoriales reales
1.2. Producto entre vectores
1.2.1. Ingeniería y vectores
1.2.2. Producto escalar, ángulo entre vectores y proyecciones
1.2.3. Producto vectorial
1.2.4. Producto mixto

Capítulo 2. Rectas y planos
2.1 Rectas en el plano
2.1.1. Ingeniería y rectas
2.1.2. Ecuaciones de la recta que pasa por un punto y es paralela a la dirección de un vector
2.1.3. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a la dirección de un vector
en R2
2.1.4. Posiciones relativas de rectas en el plano
2.1.5. Angulos de dos rectas en R2
2.1.6. Distancia de un punto a una recta en R2
2.1.7. Familia o haz de rectas
2.1.8. Aplicaciones de modelos lineales
2.2. Planos en R3
2.2.1. Ingeniería y planos
2.2.2. Ecuación implícita o general del plano
2.2.3. Ecuación del plano que pasa por tres puntos no alineados
2.2.4. Ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a dos vectores no paralelos entre
sí
2.2.5. Ecuaciones paramétrica vectorial y paramétrica cartesiana del plano
2.2.6. Posiciones relativas de dos planos
2.2.7. Angulos diedros formados entre dos planos
2.2.8. Distancia de un punto a un plano
2.2.9. Familia o haz de planos
2.3. Rectas en R3
2.3.1. Ingeniería y rectas en el espacio
2.3.2. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es paralela a un vector
2.3.3. Recta definida como intersección de dos planos no paralelos
2.3.4. Posiciones relativas de rectas y planos
2.3.5. Distancia de un punto a una recta en R3
2.3.6. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
2.3.7. Rectas alabeadas
2.3.8. Planos proyectantes de una recta

Capítulo 3. Secciones cónicas
3.1. Ingeniería y cónicas
3.2. Lugar geométrico de R2
3.2.1. Lugares geométricos simétricos
3.3. Transformación de coordenadas
3.3.1. Traslación de los ejescoordenados
3.3.2. Dilataciones, contracciones, rebatimientos
3.3.3. Rotación de ejes coordenados
3.4. Superficie cónica y curvas cónicas
3.4.1. Origen del nombre cónica
3.4.2. Cónicas
Definición geométrica
3.5. Circunferencia
3.5.1. Obtención de una ecuación de la circunferencia
3.5.2. Familias de circunferencias
3.6. Elipse
3.6.1. Obtención de la ecuación canónica de la elipse
3.6.2. Elementos de la elipse
3.6.3. Ecuación ordinaria de la elipse
3.7. Parábola
3.7.1. Ecuaciones canónicas de la parábola de directriz paralela a los ejes coordenados
3.7.2. Ecuaciones ordinarias de la parábola: vértice en (h; k) Y directriz paralela a uno de los
ejes coordenados
3.8. Hipérbola
3.8.1. Obtención de la ecuación canónica de la hipérbola
3.8.2. Elementos de la hipérbola
3.8.3. Ecuación ordinaria de la hipérbola
3.9. Análisis de la ecuación general de segundo grado en dos variables
3.9.1. Ecuación general de segundo grado incompleta y cónicas: condición necesaria
3.9.2. Ecuación general de segundo grado incompleta y cónicas: condición suficiente
3.9.3. Cónicas y la ecuación de segundo grado completa
3.10. Excentricidad y definición general de cónica
3.11. Algunas propiedades de las cónicas y sus aplicaciones
3.12. Formas paramétricas de las cónicas
3.12.1. Conceptos previos
3.12.2. Formas paramétricas de las cónicas

Capítulo 4. Superficies
4.1. Superficies y curvas en R3 en coordenadas cartesianas
4.2. Simetrías
4.2.1. Simetría respecto a los planos coordenados
4.2.2. Simetría respecto a los ejes coordenados y del origen
4.3. Superficies de revolución
4.3.1. Intersección de superficies de revolución con planos perpendiculares al eje
4.4. Superficies cuadráticas de revolución generadas por cónicas y cónicas degeneradas
4.4.1. Superficies de revolución de verdaderas cónicas
4.4.2. Superficies de revolución de cónicas degeneradas
4.5. Otras superficies con ecuaciones cuadráticas
4.5.1. Paraboloide hiperbólico
4.6. Cilindros
4.6.1. Cilindros hiperbólicos rectos
4.6.2. Cilindros parabólicos
4.6.3. Superficies cilíndricas
4.7. Transformación de coordenadas en R3
4.7.1. Transformación de desplazamientos
4.7.2. Transformación de dilatación y contracción
4.7.3. Transformación de reflexión
4.8. Transformaciones de dilatación en las superficies cuadráticas
4.8.1. Transformaciones de dilatación en superficies de revolución
4.8.2. Transformaciones de dilatación de otras superficies cuadráticas
4.8.3. Transformaciones de corrimiento de superficies cuadráticas
4.9. Superficie cuádrica
4.9.1. Ecuación general de segundo grado con tres variables

Capítulo 5. Sistemas de ecuaciones lineales
5.1. Ingeniería y sistemas de ecuaciones lineales
5.1.1. Análisis de redes
5.1.2. Análisis de circuitos eléctricos
5.1.3. Balanceo de reacciones químicas
5.2. Ecuaciones lineales
5.3. Sistemas de ecuaciones lineales
5.4. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
5.5. Sistemas de ecuaciones equivalentes
5.5.1. Operaciones elementales
5.6. Matrices relacionadas con un sistema de ecuaciones lineales
5.7. Operaciones elementales por renglón y matriz escalonada
5.7.1. Matriz escalonada
5.7.2. Matriz escalonada reducida
5.8. Método de Gauss y método de Gauss-Jordan
5.9. Clasificación de sistemas lineales por su tipo de solución
5.10. Sistemas compatibles indeterminados: variable principal y variable libre
5.11. Rango de una matriz
5.12. Rango y solución
5.12.1. Teorema de Rouche-Frobenius o Kronecker
5.13. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
5.13.1. Una aplicación de los sistemas homogéneos: balanceo de reacciones químicas
5.14. Sistemas paramétricos
5.15. Algunos modelos lineales
5.15.1. Modelo lineal en economía -método de Leontief-
5.15.2. Programación lineal: optimización

Capítulo 6. Matrices
6.1. Matriz
6.1.1. Tamaño u orden de una matriz
6.1.2. Matriz fila
6.1.3. Matriz columna
6.1.4. Matriz cuadrada
6.1.5. Matriz identidad y matriz nula
6.1.6. Igualdad de matrices
6.2. Operaciones con matrices
6.2.1. Suma de matrices
6.2.2. Multiplicación de una matriz por un escalar
6.2.3. Producto de matrices
6.2.4. Propiedades de las operaciones matriciales
6.2.5. Potencia de una matriz
6.2.6. Transpuesta de una matriz
6.2.7. Inversa de una matriz
6.2.8. Propiedades de la transposición e inversión de matrices
6.2.9. Cálculo de la matriz inversa
6.3. Matrices especiales
6.4. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
6.4.1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales de n ecuaciones y n incógnitas
6.5. Matrices particionadas
6.5.1. Operaciones con matrices particionadas
6.6. Aplicaciones
6.6.1. Cadenas de Markov
6.6.2. Uso de mínimos cuadrados en el estudio de los sistemas lineales

Capítulo 7. Determinantes
7.1. Cálculo y propiedades
7.2. Determinante
Definición y propiedades
7.2.1. Introducción
7.2.2. Algunas definiciones necesarias
7.2.3. Determinantes de orden n
7.2.4. Regla de Laplace
7.2.5. Propiedades de los determinantes
7.2.6. Combinación lineal y determinante
7.2.7. Resumen de los efectos sobre el determinante de una matriz cuadrada cuando se aplican
operaciones elementales sobre sus líneas
7.2.8. Resumen de los efectos de las operaciones entre matrices en sus determinantes
7.2.9. Resumen sobre evaluación de un determinante
7.3. Usos de los determinantes
7.3.1. Matriz adjunta
7.3.2. Regla de Cramer
7.4. Resumen y relación de los principales conceptos
7.5. Lectura optativa
Determinantes de orden n

Capítulo 8. Espacios vectoriales
8.1. Ingeniería y vectores
8.1.1. Conceptos previos
8.1.2. Espaciosvectoriales
8.1.3. Algunas propiedades de los espacios vectoriales
8.1.4. Subespacios vectoriales
8.1.5. Operaciones entre subespacios vectoriales
8.1.6. Combinación lineal
8.1.7. Base de un espacio vectorial
8.1.8. Dimensión de un espacio vectorial
8.1.9. Teorema de extensión a una base
8.1.10. Corolario
8.1.11. Teorema de la dimensión de la suma de subespacios vectoriales
8.2. Matrices, sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales
8.2.1. Espacio fila y espacio columna, rango de una matriz
8.2.2. Sistemas de ecuaciones y espacios vectoriales
8.3. Espacios con producto interior
8.3.1. Distancia
8.3.2. Norma de un vector
8.3.3. Angulo entre vectores
8.3.4. Bases ortogonales y ortonormales
8.3.5. Complemento ortogonal
8.3.6. Proyecciones ortogonales

Capítulo 9. Transformaciones lineales
9.1. Definición y propiedades de las transformaciones lineales
9.1.1. Ingeniería y transformaciones lineales
9.1.2. Definición de transformación lineal
9.1.3. Propiedades de las transformaciones lineales
9.1.4. Teorema de existencia y unicidad de las transformaciones lineales
9.1.5. Núcleo e imagen de una transformación lineal
9.1.6. Teorema de la dimensión del núcleo y de la imagen de una transformación lineal
9.1.7. Clasificación de transformaciones lineales
9.1.8. Espacios vectoriales isomorfos
9.1.9. Operaciones entre transformaciones lineales
9.2. Matriz asociada a una transformación lineal
9.2.1. Matriz asociada a una transformación lineal
9.2.2. Matriz asociada a una composición de transformaciones lineales
9.2.3. Inversa de una transformación lineal
9.2.4. Matriz de cambio de base
9.2.5. Cambio de base en la matriz asociada a una transformación lineal
9.2.6. Aplicaciones de las transformaciones lineales en R2

Capítulo 10. Autovalores y autovectores
10.1. Definición de autovalores y autovectores
10.1.1. Autovalores y autovectores de una matriz
Concepto
10.1.2. Autovalores y autovectores
Cálculo
10.2. Matrices semejantes y diagonalización
10.2.1. Matrices semejantes
10.2.2. Autovalores de matrices triangulares
10.2.3. Diagonalización
10.3. Aplicación: Sistemas dinámicos
10.4. Aplicación: Rototraslación de una cónica
10.4.1. Diagonalización ortogonal de una matriz
10.4.2. Rototraslación de cónicas

Capítulo 11. Números complejos
11.1. Ingeniería y números complejo
11.1.1. Propiedades de la suma, la multiplicación y el producto por un escalar en C
11.1.2. Isomorfismo entre los espacios vectoriales CR y C2R
11.1.3. Potencias de la unidad imaginaria
11.1.4. Conjugado de un número complejo
11.1.5. Módulo de un número complejo
11.1.6. Forma trigonométrica de un número complejo
11.1.7. Radicación en C
11.1.8. Forma exponencial de un número complejo
11.1.9. Logaritmo natural en C
11.1.10. Matrices, determinantes y sistemas lineales en C
11.1.11. Algunos aspectos de espacios vectoriales y números complejos